tima-s@ya.ru

Задачка

Life is life

Created with Sketch.

Задачка

Утром, в 5 утра написал друг, говорит, не может заснуть, давай решим задачку. И присылает картинку с задачкой, где дана система уравнений, заданных мороженными, бубликами и Эйнштейном. 🙂

Наверное я еще не проснулся совсем, чтобы прикидывать в уме, эмпирически прийти к результату я не осилил. Пришлось зажечь свет над столом и сесть за блокнот.

Итак, исходная система уравнений у нас получилась следующая:

2x + y + x = 25
2x + 2x + 2z = 42
2y + z + z = 32

Сначала я решил ее обычным школьным методом подстановки. Решение нехитрое, попробовал, покрутил так и сяк, выразил одно через другое, получил X = 6. Рутинное дело получить значения остальных переменных.

Но потом, я позавтракал и, как друг сказал, меня понесло! Я решил эту задачу еще одним методом, через определители матриц.

Наверное самое важное здесь упростить систему и привести ее к матричному виду. Важно, чтобы X были в одном столбике, Y — в другом, Z — в третьем.

3x + y = 25
4x + 2z = 42
2y + 2z = 32
---
3x + 1y + 0x = 25
4x + 0y + 2z = 42 
0x + 2y + 2z = 32

Таким образом получилась матрица 3 на 3 из иксов, игреков, и зет. Числа после равно сейчас пока отсекаются. На данном этапе они нам не нужны, но понадобятся позже.

3 1 0 
4 0 2 
0 2 2

Дальше, пользуясь правилом треугольника, посчитаем ее определитель. Берется диагональ, 3, 0, 2 и два треугольника со сторонами параллельными этой диагонали. Первый треугольник — 1, 2, 0. Второй — 4, 2, 0.

Берем другую диагональ, 0, 0, 0. И снова два треугольника со сторонами, параллельными этой диагонали. 4, 1, 2 и 2, 2, 3.

Считаем определитель. Для матрицы три на три, должно быть 6 слагаемых. Факториал из 3. Перемножив между собой числа образующие диагонали, затем числа, образующие вершины треугольников, мы и получим 6 слагаемых. Из первых трех нужно вычесть последние три.

det = 3 * 0 * 2 + 1 * 2 * 0 + 4 * 2 * 0 - 
   - (0 * 0 * 0 + 4 * 1 * 2 + 2 * 2 * 3) =
   = - (8 + 12) = -20

Таким вот нехитрым образом мы получили определитель нашей основной матрицы. Он не равен нулю, это хорошо, значит можно решать дальше. Позже нам потребуется на него поделить, поэтому нежелательно, чтобы он был равен нулю.

Чтобы найти Х, нужна другая матрица. Подставим в нашу основную матрицу вместо столбика с иксами столбик числами после знака равенства. У нас получится матрица для вычисления Х.

25 1 0
42 0 2
32 2 2

Посчитаем ее определитель тем же способом треугольника, каким мы считали для нашей основной матрицы. То же самое, две диагонали и четыре треугольника (по два для каждой диагонали) дают 6 слагаемых. Первые три слагаемых минус остальные три. В итоге, чтобы не расписывать решение, нас получается «-120». Это определитель для матрицы X.

Теперь разделим определитель для матрицы Х на наш основной определитель.

-120 / -20 = 6

Это и будет наш Х. Х = 6. Аналогичным образом можно найти и Y, и Z.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *